algebre
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ATTENTION :
les références classiques pour les intégrales de Wallis
attribuent à I(n) l'intégrale
∫ sin(x)^n dx
-
mais ici on adopte
I(n) = ∫ sin(x)^(2n+1) dx
donc ici I(0) = 1
et pour le Ch 3, des simples opérations arithmétiques suffiront
Thème des Intégrales de Wallis impaires
La présentation qui suit est au stade de la construction. Des remarques et des observations peuvent se faire à l'adresse suivante : lemomo690@gmail.com
Sommaire :
1. UNE APPROCHE CLASSIQUE
2. CONJECTURES
3. RUDIMENTS D'EVALUATION EN LANGAGE PYTHON
4. REMARQUES ANNEXES
1. UNE APPROCHE CLASSIQUE
Sur des bornes choisies entre 0 et π/2,
définissons I(n) = ∫ sin(x)^(2n+1) dx
Par changement de variable u = cos(x) donc du = -sin(x) dx
il convient de traduire sin(x)^(2n) en expression polynomiale de u
sin(x)^2 = 1-u^2
sin(x)^(2n) = ( 1-u^2 )^n
I(n) = - ∫ ( 1-u^2 )^n du sur des bornes prises pour 1 et 0
donc I(n) = + ∫ ( 1-u^2 )^n du sur des bornes prises entre 0 et 1
Par procédé itératif,
I(0) = ∫ sin(x) dx = 1
I(n+1) = ∫ (1-u^2) (1-u^2)^n du = I(n) + ∫ u ( -u (1-u^2)^n ) du
en particulier I(1) = I(0) - ∫ u^2 du = 1 - 1/3 = 2/3
pour n>0,
par intégration par partie où g(u) = (1/(2n+2)) (1-u^2)^(n+1)
& g'(u) = -u (1-u^2)^n
I(n+1) - I(n) = [ u g(u) ] - ∫ g(u) du
= 0 - (1/(2n+2)) I(n+1)
donc (2n+2) I(n+1) - (2n+2) I(n) = - I(n+1)
=> I(n+1) = I(n) (2n+2)/(2n+3)
Solution "reconnue" :
I(0)=1
& n>0, I(n) = ( 2 . 4 ... (2n) )/( 1 . 3 ... (2n+1) )
"That's it !"
2. CONJECTURES
S'agissant de recalculer I(n)
introduisons z = exp(j x)
sachant qu'entre entre 0 et π/2, il y a égalité
sur ∫ sin(x)^(2n+1) dx = ∫ cos(x)^(2n+1) dx
on développe hardiment notre cosinus :
2^(2n+1) cos(x)^(2n+1)
= ( z + z^-1 )^(2n+1) = ∑ C(2n+1,k) z^(2n+1-2k) pour k=0,1,...,(2n+1)
= ( z^(2n+1) + z^(-2n-1) ) + C(2n+1,1) ( z^(2n-1) + z^(-2n+1) ) + ...
= 2 ∑ C(2n+1,k) cos( (2n+1-2k) x ) pour k=0,1,...,n
On considère les éléments binomiaux "connus" :
C(m,k) = m! /( k! (m-k)! )
Au 1er abord, ce résultat n'aurait rien de bien avantageux
Mais nous obtenons la particularité des intégrales de Wallis consacrées "aux indices impairs"
cos(x)^(2n+1)
= W(n) ( cos(x) + V(1,n) cos(3x) + ... + V(n,n) cos((2n+1)x) )
avec W(n) = C(2n+1,n) / 2^(2n)
& V(1,n) = C(2n+1,n-1) / C(2n+1,n) = n/(n+2)
exemple :
n=2, cos(x)^5 = (5/8) ( cos(x) + (1/2) cos(3x) + (1/10) cos(5x) )
d'où I(n) = W(n) ( 1 - V(1,n)/3 + V(2,n)/5 + ... )
& pour n=2,
I(2) = 8/15 = (5/8) ( 1-1/6+1/50 )
=> les intégrales de Wallis consacrées aux indices impairs
sont bien effectivement du domaine des fractions de nombres entiers
Au second abord, l'aspect "cosinus" est aussi exploitable comme suit
Un développement "formule de Taylor" fournit la base classique
cos(x) = 1 - x^2/2 + x^4/24 + ...
Dans le même temps,
quand la variable x parcourt l'intervalle de valeurs entre 0 et π/2,
la fonction cos(x) est décroissante positive entre 1 et 0
et la fonction cos(x)^(2n+1) aussi
Notons la valeur x1 = 1/√(2n+1)
alors pour des valeurs de n suffisamment grandes
on obtient de comparer cos(x1)^(2n+1)
à ( 1 - (1/2)/(2n+1) )^(2n+1)
autrement dit à exp(-1/2)
l'explication étant pour (1+x/n)^n la passage à la limite exp(x)
Du coup, l'intégrale de cos(x)^(2n+1) entre 0 et x1
s'assimilerait, par méthode des trapèzes, à la valeur
A1 = x1 (1+exp(-1/2))/2
Notons x2 = 2 x1
on obtient pour cos(x2)^(2n+1)
l'assimilation à ( 1 - 2/(2n+1) )^(2n+1)
autrement dit à exp(-2)
Du coup, l'intégrale de cos(x)^(2n+1) entre x1 et x2
s'assimilerait, par méthode des trapèzes, à la valeur
A2 = x1 (exp(-1/2)+exp(-2))/2
De même x3 = 3 x1
l'assimilation de ( 1 - (9/2)/(2n+1) )^(2n+1) à exp(-9/2)
conduit à
A3 = x1 (exp(-2)+exp(-9/2))/2
En définitive,
pour des valeurs de n suffisamment grandes
on obtient de comparer
I(n) à K0/√(2n+1)
K0 = 1/2 + exp(-1/2) + exp(-2^2/2) + exp(-3^2/2) + ...
D'où :
Q(n) = 2 (2n+1) I(n)^2
Q(n) ≈ 2 K0^2
Pour un ordre de grandeur K0 ≈ 1,2533
on obtient
2 K0^2 ≈ 3,1415
ATTENTION
-
cette présentation, par rapport à un résultat
I(n) ≈ (1/2) √(π/n)
est aussi de l'ordre de remarques annexes ch.4
3. RUDIMENTS D'EVALUATION EN LANGAGE PYTHON
Tout le plaisir est celui d'une occasion d'évaluations en Python
Le script suivant, intitulé wallis.py, a été testé en Python versions 2.7 et 3.4
On fournit ici l'affichage du script puis l'affichage de son utilisation
def wq(N) :
print("Wallis impaires")
Ik = 1.
k = 0
while ( k < N ):
k = k + 1
Ik = Ik * 2.*k/(2*k+1.)
Qk = 2*(2*k+1)*Ik*Ik
if ( k == 0 ) :
print("Erreur !")
return
lign = " N = " + str(N)
print(lign)
lign = "I(N)=" + str(Ik)
print(lign)
lign = "Q(N)=" + str(Qk)
print(lign)
return
>>>
>>>
>>> import wallis
>>>
>>>
>>> wallis.wq(50)
Wallis impaires
N = 50
I(N)=0.12440111784
Q(N)=3.12607890022
>>>
>>>
>>> wallis.wq(500)
Wallis impaires
N = 500
I(N)=0.0396035789523
Q(N)=3.1400238186
>>>
>>>
"That's it !"
4. REMARQUES ANNEXES
Des présentations ont été faites dans le chapitre 2
Quelques compléments peuvent être envisagés
Par rapport à une constante K0
présentée comme une série "intéressante"
on peut étendre l'idée qui s'appuierait
non pas sur la valeur x1 = 1/√(2n+1)
mais sur la valeur paramétrée
x1 = s/√(2n+1)
Dès lors, la présentation faite précédemment
de la constante K0
correspond au paramètre s=1
ou encore K0 = Ka(s=1)
Ka(s) = s ( 1/2 + exp(-s^2/2) + exp(-(2s)^2/2)
+ exp(-(3s)^2/2) + ... )
Ceci fournit un résultat 2 Ka(s)^2 qui s'approche
de la valeur exacte de π
avec une précision d'autant plus performante
que s prend une petite valeur réelle >0
(en d'autres termes, on utilise la méthode
des trapèzes pour une intégration aussi fine que voulue)
Sur un autre aspect,
par rapport aux éléments cosinus
et aux éléments binomiaux C(m,k) = m! /( k! (m-k)! )
pour k=0,1,...,n
cos(x)^(2n+1)
= 2^(-2n) ∑ C(2n+1,n-k) cos( (2k+1) x )
donc
cos(x)^(2n+1)
= W(n) ( cos(x) + V(1,n) cos(3x) + ... + V(n,n) cos((2n+1)x) )
avec W(n) = C(2n+1,n)/2^(2n)
& V(1,n) = C(2n+1,n-1)/C(2n+1,n) = n/(n+2)
il y a la forme d'exploitation
qui consiste à définir des fonctions ha(t,n)
à partir de l'intégrale prise entre les bornes 0 et t
ha(t,n) = (1/I(n)) ∫ cos(x)^(2n+1) dx
par évidence, toute fonction ha au point t=0 vaut ha(0,n)=0
& par définition de I(n) : ha(π/2,n) = 1
Sur un large voisinage autour de t0=π/2,
la fonction cos(t)^(2n+1) prend des valeurs proches de 0
=> sur ce voisinage,
ha(t,n) prend une allure de fonction constante
Une simple reécriture fournit
ha(t,n)
= (W(n)/I(n)) ∫ ( cos(x) + (n/(n+2)) cos(3x) + ... ) dx
= (W(n)/I(n)) ( sin(t) + (n/(n+2)) (sin(3t)/3) + ... )
L'idée judicieuse
est de comparer la suite W(n)/I(n) à la valeur 4/π
à partir des propriétés de convergence des fonctions ha
En définitive,
les 2 suites 2(2n+1) I(n)^2 & 4 I(n)/W(n)
présentent une convergence vers la valeur exacte de π
la première est une suite monotone croissante
tandis que la seconde est monotone décroissante
Finalement, une simple moyenne des 2 suites s'exprime
par la formule M(n) = I(n) ( (2n+1) I(n) + 2/W(n) )
avec
W(0) = 1
W(n+1) = W(n) ( 3 + n/(n+2) )/4
On observe alors l'amélioration suivante par rapport aux résultats du ch.3 :
>>>
>>>
>>> import wallis
>>>
>>>
>>> wallis.ww(500)
Wallis impaires
N = 500
I(N)=0.039603578952
W(N)=0.050399687019
I*((2*N+1)*I+2/W)=3.14159226207
>>>
>>>
On réussira à observer une convergence du type 0.1/N^2
"That's it !"